Mengapa 0!=1?

Sobat Vektor pasti sudah tidak asing dengan faktorial. Faktorial sering digunakan pada materi peluang terutama menghitung permutasi dan kombinasi. Namun, bagi Sobat Vektor yang anti matematika dan bingung faktorial itu bagaimana. Yuk, mengenal faktorial terlebih dahulu sebelum masuk ke pokok bahasan.

Faktorial didefinisikan sebagai hasil kali bilangan asli dari 1 sampai dengan n dan dinotasikan n! (dibaca: n faktorial). Jadi, bentuk matematisnya sebagai berikut

n!= 1 x 2 x 3 x…. x (n-1) atau n!= n x (n-1) x (n-2) x … x 2×1

Permasalahan yang akan dibahas adalah mengapa 0!= 1. Kita berangkat dari bentuk matematisnya. 

n!=n×n-1n-2 ×….× 2 ×1 

Coba kamu perhatikan rumus di atas dapat disingkat seperti di bawah ini.

n!=n×n-1!

Lalu, kita bagi dengan n di semua ruas sehingga menghasilkan berikut ini.

n!/n=(n-1)! 

Kemudian, kita substitusi n=1

1!/1=(1-1)! 

1=0! 

Oleh karena itu, terbukti bahwa 0!=1

Selain itu, ada penjelasan lain menurut aturan pencacahan. Diketahui bahwa n! menyatakan susunan yang mungkin dari n objek berbeda tanpa pengulangan. Berikut ini contonya.

Misalkan ada benda X, Y, Z, maka banyaknya susunan yang mungkin adalah 3! = 3 x 2 x 1= 6 cara.

X,Y,Z     X, Z,Y    Y,X,Z     Y,Z,X     Z,X,Y     Z,Y,X 

Kemudian, diketahui ada himpunan dengan nol elemen yang disebut dengan himpunan kosong. Untuk mengetahui nilai 0!, kita dapat bertanya-tanya, “berapa banyak cara kita Menyusun himpunan tersebut? Di sini kita perlu berpikir secara luas. Meskipun tidak ada elemen, banyak susunan yang mungkin adalah 1 cara, yaitu tidak ada apa-apa (kosong). Dengan demikian, 

0!=1

Pembuktian selanjutnya menggunakan pendapat yang menyatakan 0! = 1 merupakan definisi. Dengan demikian, untuk n bilangan asli berlaku bahwa

n!=n×n-1!     ;n≥1

Kemudian kita terapkan definisi tersebut.

1!=1(0)!

1=1a

Misalkan a = 0!. Dari uraian di aras nilai a yang mungkin adalah bernilai 1. Dengan demikian 0!=1

Andaikan saja a tidak bernilai 1. Hal tersebut mengakibatkan 1!≠1 sudah jelas bahwa ini salah bahkan berakibat fatal. 

Perhatikan jika 0!=0, maka

• 1!=1×0!

           1!=1×0

           1!=0

• 2!=21!

          2!=2×0

          2!=0

• 3!=32!

          3!=3×0

          3!=0

Akibatnya n! akan selalu 0. Lalu apa manfaatnya? Tidak ada manfaatnya apabila 0!= 0 khususnya pada permutasi dan kombinasi. 

Melalui pembuktian di atas, Sobat Vektor sekarang sudah paham kan alasan 0!=1. Pembahasan kali ini sangat menarik untuk digali dan menjadi kepuasan tersendiri apabila sudah memahami. Sobat vektor pasti penasaran dengan fakta-fakta menarik pada matematika. Misalnya, mengapa (-1)! hasilnya tak terdefinisi? Kalau kalian tahu, boleh banget tulis di kolom komentar. 

 

Daftar Pustaka:

Mardiansyah, M. Rizal. 2015. Mengapa 0!=1?.[21 November 2022}.

Morash, P. Ronald. (1987). Bridge to Abstract Mathematics. New York: Random House, Inc. 

Taylor, Courtney. (2020, Februari 04). Why Does Zero Factorial Equal One?. Diakses dari https://www.thoughtco.com/why-does-zero-factorial-equal-one-3126598 pada [21 November 2022].

 

Reporter: Ayunda Dwi Aisyatunaja

Redaktur: Ayunda Dwi Aisyatunaja